なぜbotが増えると勝てなくなるか？ - わらび餅の巡洋艦日記

1. 概要
2. 定式化
3. 結果
4. 派生した結果
5. 結び

1. 概要

「botが増えると勝ちづらい」という経験則を裏づけることは難しく思われる. 実力の低いプレイヤーが増加すれば自分の勝率は上昇すると考えるほうが自然なためである. この記事では正規分布を用いた確率モデルによって, 「botが増えると勝ちづらい」という経験則を肯定する. さらにプレイヤー勝率と順位および3人分隊の勝率との関係についても示す.

2. 定式化

2.1. “強さ”と勝敗

試合は2つのチーム(味方, 相手)のうち"強さ"値が大きい方が勝つとして, 各チームの"強さ"は所属するプレイヤー12人の"強さ"の合計で求める.
自分およびbotを除くプレイヤーの"強さ"は平均 $0$ , 分散 $1$ の正規分布に従うとする.

2.2. 自分の勝率

自分の”強さ”が平均 $s _ {0}$ , 分散 $0$ の正規分布に従うとする. このとき味方チームの”強さ”から相手チームの”強さ”を差し引いたものは平均 $s _ {0}$ , 分散 $23$ の正規分布に従うが, この確率変数が正になる確率が味方チーム, つまりは自分の勝率である. この計算では正規分布の再生性を用いた.
”強さ” $s _ {0}$ のプレイヤーの勝率 $w _ {0}$ は標準正規分布の累積分布関数 $f(x)$ を用いて以下のように書ける.

$\displaystyle w _ {0} = f \left ( \dfrac{ s _ {0} } { \sqrt{23} } \right )$

2.3. botの勝率

botの強さが平均 $s _ {bot}$ , 分散は他プレイヤーと同じく $1$ であるとき, このbotの勝率 $w _ {bot}$ は先ほどのプレイヤーの例とよく似た計算で求められる. 分散を $1$ とした理由は後述する. 2.2に現れる自分の勝率の式と比較したときの分母の違いに注意せよ.

$\displaystyle w _ {bot} = f \left ( \dfrac{ s _ {bot} } { \sqrt{24} } \right )$

2.4. bot混入時の勝率変化

自分を除くプレイヤーが確率 $p$ でbotへ変化するときの, 自分の勝率 $w _ {0} ^ {'}$ を求めたい. 確率 $p$ が十分に小さいとすれば複数のプレイヤーが同時にbotへ変化する確率は無視できるため, 全事象は3つに場合分けできる. 両チーム全員がプレイヤーである場合 (確率 $1-23 p$ ), 相手にbotが1人いる場合 (確率 $12 p$ , そして味方にbotが1人いる場合 (確率 $11 p$ ) である. それぞれ下式の第1項から第3項に対応している.

$\begin{align} \displaystyle w _ {0} ^ {'} &= \left (1 - 23 p \right) \cdot f \left ( \dfrac {s _ {0}} {\sqrt{23}} \right) + 12 p \cdot f \left ( \dfrac {s _ {0} + s _ {dot} } {\sqrt{23}} \right) + 11 p \cdot f \left ( \dfrac {s _ {0} - s _ {dot} } {\sqrt{23}} \right) \end{align}$

$w_{0}=f \left ( \dfrac{ s _ {0} } { \sqrt{23} } \right )$ を両辺から差し引き, さらに両辺を $p$ で割る.

$\begin{align} \displaystyle \frac {w _ {0} ^ {'} - w _ {0}} {p} &= -23 \cdot f \left ( \frac {s _ {0}} {\sqrt {23}} \right) + 12 \cdot f \left ( \frac {s _ {0} + s _ {bot}} {\sqrt {23}} \right) + 11 \cdot f \left ( \frac {s _ {0} - s _ {bot}} {\sqrt {23}} \right) \end{align}$

左辺はプレイヤー勝率の変化をbot混入率で割ったものである. 正ならば自分の勝率がbot混入によって上昇して, 逆も然りである.

3. 結果

3.1. bot混入の”逆転領域”

f:id:warabi99_wows:20220414105220p:plain — 図 1. bot混入によるプレイヤー勝率の変化

グラフ中に示される領域の色はbotの混入がプレイヤーの勝率に与える変化の符号を示している. 青が上昇, 赤が低下である. bot勝率が50%を上回るbotの混入によってプレイヤーの勝率が低下するのは直感的にも明らかであるが, そもそもプレイヤーより上手なbotというのは非現実的である. bot勝率が50%を若干下回る領域ではプレイヤーの本来の勝率に関係なくbotの混入によってプレイヤーの勝率が上昇している一方で, botの勝率が非常に低い領域では特徴的な振る舞いが見て取れる. プレイヤー勝率が一定以上であればbotの混入によって勝率が低下して, 一定以下であれば上昇するのである. プレイヤーの勝率が一定値へ回帰しているとも言い換えることができる.

3.2. 弱いbotの極限

再び下式から考察を始める.

ここではbotが非常に弱い場合を考えるので, $s _ {bot} \to - \infty$ の極限を取る.
$f(- \infty) = 0, f(\infty) = 1$ である.
直感的にはbotが入ったチームが必ず負けるという状況に対応している.

$\begin{align} \displaystyle \frac {w _ {0} ^ {'} - w _ {0}} {p} &= -23 \cdot f \left ( \frac {s _ {0}} {\sqrt {23}} \right) + 12 \end{align}$

$w_{0}=f \left ( \dfrac{ s _ {0} } { \sqrt{23} } \right )$ であることを思い出せば,

$\begin{align} \displaystyle \frac {w _ {0} ^ {'} - w _ {0}} {p} &= -23 \cdot \left ( w _ {0} - \frac {12} {23} \right) \end{align}$

と変形できる.
左辺が負になる条件は $w _ 0 > \frac{12}{23}=0.521 \dots$ であることが分かる.
まとめると, botが非常に弱い場合はその混入によってプレイヤーの勝率が $\frac{12}{23}$ めがけて収束する.

3.3. botの分散をゼロにした場合

2.3ではbotの強さの分散を他プレイヤーと等しい $1$ に設定した. ここではbotの強さの分散が $0$ である場合の結果について説明する.

f:id:warabi99_wows:20220414110645p:plain — 図 2. bot混入によるプレイヤー勝率の変化 (bot分散ゼロ)

右上の領域に明確な違いが現れている. この計算条件では強さが不均一なプレイヤーが均一な(分散がゼロの)botで置き換わるため, 試合の不確実性が減少している. この不確実性の減少は勝率の高いプレイヤーに有利に働く. 一方で3.1.にて紹介した計算条件ではこの不確実性の減少という影響が取り除かれている.
このようにbotの強さの分散をゼロとして得られた結果の考察は複雑になるため, ここで補足として説明することにした.

4. 派生した結果

4.1. 3人分隊の勝率

強さ $s _ {0}$ のプレイヤー3人が3人分隊を組んだ際の勝率 $w _ {0} ^ {3div}$ については以下の式で表せる.

$\begin{align} \displaystyle w _ {0} ^ {3div} &= f \left ( \frac {3 \cdot s _ {0}} {\sqrt {21}} \right) \end{align}$

グラフにすると以下のようになる. 個人的にはいい線いっているという感触なのだが, 如何だろうか.

f:id:warabi99_wows:20220414111320p:plain — 図 3. ソロ勝率と3人分隊勝率

4.2. 3人分隊がbot混入から受ける影響

横軸がソロ勝率で表示されているので分かりづらいが, グラフに示しているのはbot混入がない場合の3人分隊勝率を基準とした数値である. 前節と同様に, ソロ勝率の等しいプレイヤー3人が分隊を組んだ場合を考えている. 3人分隊はソロよりもベースの勝率が高いものの, 赤い領域そのものはあまり変化がない. ただし, グラフ中の数値が全体的に大きくなっているのは要注意である. 3人分隊はベースの勝率を高める一方で, bot混入による影響に脆弱である.

f:id:warabi99_wows:20220414111456p:plain — 図 4. bot混入によるプレイヤー勝率の変化 (3人分隊)

4.3. プレイヤーの勝率と全体順位

プレイヤーの強さが正規分布に従うという仮定から, プレイヤーの勝率と上位パーセントを対応づけることができる.

f:id:warabi99_wows:20220414111700p:plain — 図 5. ソロ勝率と上位パーセント

ソロ勝率60%のプレイヤーが上位10%程度ということになる. さすがに多すぎると思うので, そうするとランダム戦の分散が今回の計算で使った23という値よりも大きいことになる. ただし解釈上の注意点としてはこの順位がプレイヤーベースではなく戦闘数ベースであること. 逆手に取れば, ランダム戦の分散をプレイヤー勝率の分布から求めることができるということになる.

5. 結び

プレイヤーの集合を正規分布として仮定することで, 低レベルなbotの混入がプレイヤーの勝率を低下させる現象に定性的な説明を与えるのみならず, 3人分隊の勝率や全体順位など他の統計との関連性も示すことができた. しかしながら今回の結果は純粋に理論的なものであるから, 実際の統計データによる検証が必要である.